Высказывания. Операции над высказываниями

Определение высказываний

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами %%A, B, C, ...%% или буквами с индексами %%A_1, B^2, C', ...%%.

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

%%A_1%%: «Москва — столица Австрии».
%%A_2%%: «Число 8 больше числа 3».
%%A_3%%: «Число 8 больше числа 13».
%%A_4%%: «Луна — спутник планеты Земля».

Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

%%B_1%%: «Какой сегодня день недели?».
%%B_2%%: «%%2 + 3%%».
%%B_3%%: «Число %%x%% больше 3».

Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Сложные высказывания построены из более простых, используя следующие логические знаки $$ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \overline{}, $$ которые имеют соответствующие названия: конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), импликация (логические следование), эквиваленция (логическое равенство) и отрицание (логическое НЕ).

Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.

Рассмотрим конъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \land A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_1%% ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A \land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

1. %%A%% ложно, %%B%% ложно;
2. %%A%% ложно, %%B%% истинно;
3. %%A%% истинно, %%B%% ложно;
4. %%A%% истинно, %%B%% истинно;

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A \land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A \land B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.

Операцию конъюникции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, ..., A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 \land A_2 \land ... \land A_n%%, являющееся конъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, ..., A_n%%, будет истинным тогда и только тогда, когда все высказывания будут истинными.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны. Читается как %%A%% или %%B%%.

Рассмотрим дизъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \lor A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии или число 8 больше числа 3». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_2%% истинно. Другими словами, дизъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \lor B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%1%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Аналогично конъюнкции, операцию дизъюнкции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, ..., A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 \lor A_2 \lor ... \lor A_n%%, являющееся дизъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, ..., A_n%%, будет ложным тогда и только тогда, когда все высказывания будут ложными.

Импликация

Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется

новое высказывание, обозначаемое %%A \rightarrow B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% истинно, %%B%% ложно. Читается как: «Если %%A%%, то %%B%%»; «%%A%% влечет %%B%%»; «из %%A%% следует %%B%%»; «%%A%% достаточно для %%B%%»; %%B%% необходимо для %%A%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_2%% и %%A_1%%, которая записывается как %%A_2 \rightarrow A_1%% и читается как «Если число %%8%% больше числа %%3%%, то Москва — столица Австрии». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \rightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \leftrightarrow B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% и %%B%% одновременно истинны или ложны. Читается как: «%%A%% равносильно %%B%%»; «%%A%% необходимо и достаточно для %%B%%»; «%%A%% тогда и только тогда, когда %%B%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \leftrightarrow A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число %%8%% больше числа %%3%%». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \leftrightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

$$ A \leftrightarrow B = (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A) $$

Покажем это, используя таблицы истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A \leftrightarrow B%%	%%A \rightarrow B%%	%%B \rightarrow A%%	%%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%

Как видно из таблицы истинности столбцы %%A \leftrightarrow B%% и %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания %%A%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%\overline{A}%%, которое является истинным, когда высказывание %%A%% ложно, и ложным, когда высказываине %%A%% истинно. Читается как: «не %%A%%»; «неверно, что %%A%%».

Рассмотрим отрицание высказывния %%A_1%%, которое записывается как %%\overline{A_1}%% и читается как «неверно, что Москва — столица Австрии». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.

%%A%%	%%\overline{A}%%
%%0%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%