Композиция

Определение

Если %%f: X \to Y%% и %%g: Y \to Z%%, то отображение %%\varphi: X \to Z%%, заданное для каждого %%x \in X%% формулой %%\varphi(x) = g\big(f(x)\big)%%, называется композицией (суперпозицией) отображений %%f%% и %%g%%, или сложной функцией, и обозначают %%g \circ f%%.

$$ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) $$

Таким образом, сложная функция %%g \circ f%% реализует правило: «Применяй сначала %%f%%, затем %%g%%», то есть в композиции %%g \circ f%% надо начинать с операции %%f%%, расположенной справа.

Пример

Пусть %%X = Y = Z = \mathbb R%%. Отображения %%f : X \to Y%% и %%g: Y \to Z%% заданы формулами %%f(x) = x + 1%% и %%g(x) = x^2%%. Указать формулу для отображения %%g \circ f%%

По правилу получаем

$$ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(x + 1) = (x + 1)^2. $$

Свойства произведения отображнений

1. Произведение отображения ассоциативно, то есть для всех отображений %%f: X \to Y, g: Y \to Z, h: Z \to H%% справедливо равенство %%(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)%%.

   Проверим это следующим образом:

   $$ \begin{array}{c} \big((h \circ g) \circ f\big) (x) = (h \circ g)\big(f(x)\big) = h \Big(g\big(f(x)\big)\Big),\\ \big(h \circ (g \circ f)\big) (x) = \Big(h \circ g\big(f(x)\big)\Big) = h \Big(g\big(f(x)\big)\Big). \end{array} $$

2. Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в %%X%%, %%I_X%% — тождественнное отображение множества %%X%%. Тогда $$ I_X \circ f = f \circ I_X = f. $$