Понятие отображения

Пусть %%X,Y%% — произвольные множества.

Основные определения

Отображением (оператором) %%f%% множества %%X%% в множество %%Y%%, или функцией, определенной на множестве %%X%% со значениями в множестве %%Y%%, называют соответствие, которое каждому элементу %%x \in X%% соотносит некоторый однозначно определенный элемент %%y \in Y%%.

Множество %%X%% называют областью определения и обозначают %%D_f%%, элемент %%x \in X%% — аргументом функции, а элемент %%y \in Y%% — зависимым переменным. При этом элемент %%y \in Y%%, соответствующий элементу %%x \in X%%, называют образом элемента %%x%% при отображении %%f%% или значением функции %%f%% в точке %%x%% и обозначают %%f(x)%%. Областью значений функции %%f%% (образом множества %%X%% при отображении %%f%%) называют множество $$ f(X) = \big\{y \in Y: y = f(x)~\forall x\in X\big\}, $$ обозначаемое %%R_f%%. Множество %%X = D_f%% является прообразом множества %%f(X) = R_f%% при отображнеии %%f%%. При заданном %%y \in Y%% совокупность всех таких элементов %%x \in X%%, что %%f(x) = y%%, называют прообразом элемента %%y%% и обозначают %%f^{-1}(y)%%, то есть $$ f^{-1}(y) = \big\{x \in X: f(x) = y\big\}. $$

Задание функции

Факту задания отображения (или функции) соответствует записть %%f: X \to Y%%, или %%f: x \to y%%, или %%X \stackrel{f}{\to} Y%%, или просто %%y = f(x)%%. Таким образом, $$ f: X \to Y \Leftrightarrow \forall x \in X~~\exists! y \in Y : y = f(x). $$

Часто функцию %%f%% обозначают %%f(x)%%. Обозначение функции и ее значения в точке %%x \in X%% одним и тем же символом %%f(x)%% обычно не вызывает недоразумений, посколько в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение %%f(x)%% часто удобнее, чем %%f: x \to y%%. Например, при аналитических преобразованиях запись %%f(x) = x^2%% удобнее по сравнению с %%f: x \to x^2%%.

Тождественное отображение

На любом множестве %%X%% определено отображение %%I_X: X \to X%%, называемое тождественным и задаваемое формулой %%I_X (x) = x~\forall x \in X%%. Его действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

---

Итак, понятие отображения состоит из трех неотемлимых частей: области определения %%D_f%%, множества %%Y%%, включающего область значений %%R_f%%, и правила %%f%%, которое для каждого элемента %%x \in X%% задает единственный %%y = f(x) \in Y%%.

Примеры

Даны следующие множества %%X, Y%% и правило %%f%%. Верно ли, что %%f%% является отображением множества %%X%% в множество %%Y%%?

1. %%X = \mathbb N, Y = \mathbb N, f(x) = x - 1%%.
2. %%X%% и %%Y%% — множество все точек некоторой плоскости, %%f(x)%% — точка, удаленная от точки %%x%% на данное расстояние %%r > 0%%.
3. %%X = \mathbb{R}, Y%% — отрезок %%[-1, 1]%%, %%f(x) = \sin(x)%%.

В первом случае %%f%% не является отображением, так как при %%x = 1%% имеем %%f(1) = 0 \notin Y = \mathbb{N}%%. Во втором случае %%f%% также не является отображением, так как элемент %%f(x)%% определен неоднозначно, поскольку существуют такие элементы %%x \in X%%, для которых определены два элемента %%y \in Y%%. В третьем случае %%f%% является отображением, так как множество %%X = D_f%% определено, множество %%Y%% определено и %%f(x) = \sin(x)%% — задает единственный элемент, причем он принадлежит множеству %%Y%%.