Решение типовых примеров

Пример 1

Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Опишем пространство элементарных исходов $\Omega$ и укажем состав подмножеств, соответствующих следующим событиям:

1. $A$ — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, кратно четырем;
2. $B$ — на верхней грани игральной кости выпало четное число очков;
3. $C$ — число очков, выпавших на верхней грани меньше четырех;
4. $D$ — число очков, выпавших на верхней грани меньше или равно $6$;

Установим пары совместных событий.

Решение

Пространство элементарных исходов в данном опыте имеет вид $$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\},$$ где $\omega_i$ — выпадение на верхней грани игральной кости $i$ очков.

1. Событие $A$ происходит тогда и только тогда, когда выпадает $4$, т.е. $A = \{\omega_4\}$.

2. Событие $B$ происходит тогда и только тогда, когда выпадает $2$, $4$, $6$ очков, т.е. $B = \{\omega_2, \omega_4, \omega_6\}$.

   Аналогично получаем следующие выражения для описанных событий.

3. $C = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}$.
4. $D = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} = \Omega$.

Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих элементов, находим пары совместных событий: $A$ и $B$, $A$ и $D$, $B$ и $C$, $B$ и $D$, $C$ и $D$.

Пример 2

Игральную кость бросают один раз. События $A$, $B$, $C$, $D$ определены в примере 1. Опишем следющие события:

1. $E = \overline{C}$;
2. $F = AB$;
3. $G = B \cup C$;
4. $H = D B \setminus A$;

Решение

1. Событие противоположное событию $C$ является выпадение числа очков большее или равное $4$, т.е. $E = \{\omega_4, \omega_5, \omega_6\}$.

   Аналогично получаем следующие выражения для описанных событий.

2. $F = \{\omega_4\}$;
3. $G = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_6\}$;
4. $H = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_5, \omega_6\}$;

Пример 3

Из множества всех студентов наугад выбирают двух студентов: парня и девушку. Событие $A$ — парню больше $21$ года, событие $B$ — девушка старше парня, событие $C$ — девушка замужем.

Выясним смысл следующих событий:

1. $ABC$;
2. $A \setminus BC$;
3. $B\overline{C}$.

Решение

1. $ABC$ — Пара, где девушка старше парня и замужем и парню больше $21$ года.
2. $A \setminus BC$ — пара, где парень старше $21$, причем не младше девушки, и девушка не замужем.
3. $B\overline{C}$ — пара, где девушка старше парня и не замужем.

Пример 4

Схема устройства электрической цепи приведена на рисунке 1. Выход из строя элемента $i$ — событие $A_i, i = \overline{1,4}$. Запишем выражение события разрыва цепи.

Решение

Обозначим разрыв цепи в качестве события $A$. Разрыв цепи произойдет, если выйдут из строя элементы $1$ и $2$ или $3$ и $4$, т.е. произойдут события $A_1 A_2$ или $A_3 A_4$. Поэтому $$A = A_1 A_2 \cup A_3 A_4.$$