Свойства операций над событиями

Приведем основные свойства операций над событиями, которые напоминают свойства операций над множествами. Справедливость этих свойств легко проверить с помощью диаграмм Эйлера — Венна.

1. Коммутативность суммы и произведения $$A \cup B = B \cup A, \\ AB = BA.$$
2. Ассоциативность суммы и произведения $$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \\ (AB)C = A(BC).$$
3. Дистрибутивность относительно сложения $$(A \cup B)C = AC \cup BC.$$
4. Дистрибутивность относительно умножения (не выполняется для чисел) $$AB \cup C = (A \cup C)(B \cup C).$$
5. Включение $A$ в $B$ влечет за собой включение $\overline{B}$ в $\overline{A}$.
6. Закон двойного дополнения $$\overline{\overline{A}} = A$$
7. Закон идемпотентности $$A \cup A = AA = A.$$
8. Законы де Моргана $$\overline{A \cup B} = \overline{A}~\overline{B}, ~~~~~~~ \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$ Законы де Моргана верны для любого конечного числа событий: $$\begin{array}{l} \overline{A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n} = \overline{A_1}~\overline{A_2}\ldots\overline{A_n} \\ \overline{A_1 A_2 \ldots A_n} = \overline{A_1} \cup \overline{A_2} \cup \ldots \cup \overline{A_n} \end{array}$$