Перевод чисел между системами счисления 2 ↔ 8 ↔ 16

Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

При этом знак «А» является 16-ричной цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; %%В_{16} = 11_{10}; С_{16} = 12_0; D_{16} = 13_{10}; Е_{16} = 14_{10}; F_{16} = 15_{10}%%. Другими словами, в данном случае А ... F - это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).

Пользуясь алгоритмами, сформулированными в предыдущем разделе, можно заполнить табл. 4.1.

Таблица 4.1. Представление чисел в системах счисления

10-ная	2-ная	8-ричная	16-ричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Существуют две важных теоремы, на основании которых выполняются преобразования. Мы примем их без доказательства и приведем несколько примеров.

Теорема 1. Для преобразования целого числа %%Z_p → Z_q%% в том случае, если системы счисления связаны соотношением %%q = р^r%%, где %%r%% - целое число большее 1, достаточно %%Z_p%% разбить справа налево на группы по %%r%% цифр и каждую из них независимо перевести в систему %%q%%.

Пример. Выполнить преобразование %%Z_2 = 110001_2 → Z_8%%. Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8 = 23, следовательно, %%r = 3%%) и каждая тройка в соответствии с таблицей 4.1. переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:

Следовательно, %%110001_2 = 61_8%%. Аналогично, разбивая %%Z_2%% на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим %%110001_2= 31_{16}%%.

Теорема 2. Для преобразования целого числа %%Z_p → Z_q%% в том случае, если системы счисления связаны соотношением %%р = q^r%%, где %%r%% - целое число большее 1, достаточно каждую цифру %%Z_p%% заменить соответствующим %%r%%-разрядным числом в системе счисления q, дополняя его при необходимости незначащими нулями слева до группы в r цифр.

Пример. Выполнить преобразование %%D3_{16} → Z_2%%.

Переходы %%Z_8 → Z_{16}%% и %%Z_{16} → Z_8%%, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например,

%%123_8 = 001010011_2 = 53_{16}%%.