Перевод чисел между системами счисления 2 ↔ 8 ↔ 16

Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

При этом знак «А» является 16-ричной цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; $В_{16} = 11_{10}; С_{16} = 12_0; D_{16} = 13_{10}; Е_{16} = 14_{10}; F_{16} = 15_{10}$. Другими словами, в данном случае А ... F - это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).

Пользуясь алгоритмами, сформулированными в предыдущем разделе, можно заполнить табл. 4.1.

Таблица 4.1. Представление чисел в системах счисления

Существуют две важных теоремы, на основании которых выполняются преобразования. Мы примем их без доказательства и приведем несколько примеров.

Теорема 1. Для преобразования целого числа $Z_p → Z_q$ в том случае, если системы счисления связаны соотношением $q = р^r$, где $r$ - целое число большее 1, достаточно $Z_p$ разбить справа налево на группы по $r$ цифр и каждую из них независимо перевести в систему $q$.

Пример. Выполнить преобразование $Z_2 = 110001_2 → Z_8$. Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8 = 23, следовательно, $r = 3$) и каждая тройка в соответствии с таблицей 4.1. переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:

Следовательно, $110001_2 = 61_8$. Аналогично, разбивая $Z_2$ на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим $110001_2= 31_{16}$.

Теорема 2. Для преобразования целого числа $Z_p → Z_q$ в том случае, если системы счисления связаны соотношением $р = q^r$, где $r$ - целое число большее 1, достаточно каждую цифру $Z_p$ заменить соответствующим $r$-разрядным числом в системе счисления q, дополняя его при необходимости незначащими нулями слева до группы в r цифр.

Пример. Выполнить преобразование $D3_{16} → Z_2$.

Переходы $Z_8 → Z_{16}$ и $Z_{16} → Z_8$, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например,

$123_8 = 001010011_2 = 53_{16}$.