Представление чисел в различных системах счисления

Поскольку одно и то же число может быть записано в различных системах счисления, встает вопрос о переводе представления числа из одной системы (р) в другую (q) - будем обозначать такое преобразование %%Z_p → Z_q%%.

Теоретически возможно произвести его при любых %%q%% и %%р%%. Однако подобный прямой перевод будет затруднен тем, что придется выполнять операции по правилам арифметики недесятичных систем счисления. По этой причине более удобными с практической точки зрения оказываются варианты преобразования с промежуточным переводом %%Z_p → Z_r → Z_q%% с основанием %%r%%, для которого арифметические операции выполнить легко. Такими удобными основаниями являются %%r =1%% и %%r = 10%%, т.е. перевод осуществляется через унарную или десятичную систему счисления.

Преобразование %%Z_p → Z-1 → Z_q%%

• Знак «:=» используется здесь и далее в смысле «присвоить» («считать равным»).

Идея алгоритма перевода предельно проста: положим начальное значение %%Z_q:= 0%%; из числа %%Z_p%% вычтем 1 по правилам вычитания системы р, т.е. %%Z_p: = Z_P – 1%%* и добавим ее к %%Z_q%% по правилам сложения системы q, т.е. %%Z_q:= Z_q + 1%%; будем повторять эту последовательность действий, пока не достигнем %%Z_p = 0%%.

Правила сложения с 1 и вычитания 1 могут быть записаны следующим образом:

Для системы p	Для системы q
%%(p-1)-1=(p-2)%%	%%0+1=1%%
%%(p-2)-1=(p-3)%%	%%1+1=2%%
...	...
%%1-1=0%%	%%(q-2)+1=(q-1)%%
%%0-1=^1(p-1)%%	%%(q-1)+1=_1 0%%

Промежуточный переход к унарной системе счисления в данном случае осуществляется неявно - используется упоминавшееся выше свойство независимости значения числа от формы его представления. Рассмотренный алгоритм перевода может быть легко реализован программным путем, в частности, машиной Тьюринга (мы рассмотрим этот алгоритм далее).

Выполнить преобразование %%22_3 → Z_6%%. Последовательность действий и промежуточные результаты для наглядности представим в виде таблицы:

Шаг	0	1	2	3	4	5	6	7	8
%%Z_3-1%%	22	21	20	12	11	10	2	1	0
%%Z_6+1%%	0	1	2	3	4	5	10	11	12

Следовательно, %%22_3 = 12_6%%.

Преобразование %%Z_p → Z_{10} → Z_q%%

Очевидно, первая и вторая часть преобразования не связаны друг с другом, что дает основание рассматривать их по отдельности.

Алгоритмы перевода %%Z_{10} → Z_q%% вытекают из следующих соображений. Многочлен (4.1) для %%Z_q%% может быть представлен в виде:

$$Z_q =\sum^{m-1}_{j=0} {b_j\cdot q^j} = ((...b_{m-1}\cdot q+b_{m-2})\cdot q + b_1)\cdot q+b_0~~~(4.2)$$

Такое представление называется схемой Горнера.

где %%m%% - число разрядов в записи %%Z_q%%, а %%b_j%% (%%j = 0...m - 1%%) - цифры числа %%Z_q%%.

Разделим число %%Z_q%% на две части по разряду номер %%i%%; число, включающее %%m - i%% разрядов от %%m - 1%% -го по %%i%%-й обозначим %%γ_i%%, а число с %%i%% разрядами от %%i - 1%%-го по 0 -й - %%δ_i%%. Очевидно, %%i [0, m - 1]%%, %%γ_0 = δ_{m-1} = Z_q%%. Обозначим операции: div - результат целочисленного деления двух целых чисел и mod - остаток от целочисленного деления (13 div 4 = 3; 13 mod 4 = 1). Теперь если принять %%γ_{m-1} = b_{m-1}%%, то в (4.2) усматривается следующее рекуррентное соотношение:

%%γ_i = γ_i+1 \cdot q + b_i%%,

из которого, в свою очередь, получаются выражения:

%%γ_i+1=γ_i div q %% и %%b_i=γ_i mod q%% (4.3)

Аналогично, если принять %%δ_0 = b_0%%, то для правой части числа будет справедливо другое рекуррентное соотношение: %%δ_i = δ_{i-1} + b_i \cdot q_i%%, из которого следуют:

$$b_j=δ_j div q^j, δ_{j-1}= δ_j mod q^j~~~(4.4)$$

Из соотношении (4.3) и (4.4) непосредственно вытекают два способа перевода целых чисел из 10-ной системы счисления в систему с произвольным основанием %%q%%.

Способ 1 является следствием соотношений (4.3), из которых просматривается следующий алгоритм перевода:

1. целочисленно разделить исходное число (%%Z_{10}%%) на основание новой системы счисления (%%q%%) и найти остаток от деления - это будет цифра 0-го разряда числа %%Z_q%%;
2. частное от деления снова целочисленно разделить на q с выделением остатка; процедуру продолжать до тех пор, пока частное от деления не окажется меньше %%q%%;
3. образовавшиеся остатки от деления, поставленные в порядке, обратном порядку их получения, и представляют %%Z_q%%.

Пример. Выполнить преобразование %%123_{10} → Z_5%%.

Остатки от деления (3, 4) и результат последнего целочисленного деления (4) образуют обратный порядок цифр нового числа. Следовательно, %%123_{10} = 443_5%%.

Необходимо заметить, что полученное число нельзя читать «четыреста сорок три», поскольку десятки, сотни, тысячи и прочие подобные обозначения чисел относятся только к десятичной системе счисления. Прочитывать число следует простым перечислением его цифр с указанием системы счисления («число четыре, четыре, три в пятиричной системе счисления»). Способ 2 вытекает из соотношения (4.4); действия производятся в соответствии со следующим алгоритмом:

1. определить %%m - 1%% - максимальный показатель степени в представления числа по форме (4.1) для основания %%q%%;
2. целочисленно разделить исходное число (%%Z_{10}%%) на основание новой системы счисления в степени %%m - 1%% (т.е. %%q^{m-1}%% ) и найти остаток от деления; результат деления определит первую цифру числа %%Z_q%%;
3. остаток от деления целочисленно разделить на %%q^{m-2}%% , результат деления принять за вторую цифру нового числа; найти остаток; продолжать эту последовательность действий, пока показатель степени %%q%% не достигнет значения 0.

Продемонстрируем действие алгоритма на той же задаче, что была рассмотрена выше. Определить %%m - 1%% можно либо путем подбора (%%50 = 1 < 123; 5^1 = 5 < 123; 5^2 = 25 < 123; 5^3 = 125 > 123%%, следовательно, %%m - 1 = 2%%), либо логарифмированием с оставлением целой части логарифма (%%log_5123 = 2,99%%, т.е. %%m - 1 = 2%%). Далее:

$$b_2=123 \;div\; 5^2=4, δ_1=123 \;mod\; 5^2=23 (i=2-1=1)$$ $$b_1=23\; div\; 5^1=4, δ_0=23\; mod\; 5^21=3 (i=0)$$

Алгоритмы перевода %%Z_p → Z_{10}%% явно вытекает из представлении (4.1) или (4.2): необходимо %%Z_p%% представить в форме многочлена и выполнить все операции по правилам десятичной арифметики.

Пример. Выполнить преобразование %%443_5 → Z_{10}%%

%%443_5 =4\cdot 5^2+4\cdot 5^1+3.5^0=4\cdot 25+4\cdot 5+3.1=123_{10}%%

Необходимо еще раз подчеркнуть, что приведенными алгоритмами удобно пользоваться при переводе числа из десятичной системы в какую-то иную или наоборот. Они работают и для перевода между любыми иными системами счисления, однако, преобразование будет затруднено тем, что все арифметические операции необходимо осуществлять по правилам исходной (в первых алгоритмах) или конечной (в последнем алгоритме) системы счисления. По этой причине переход, например, %%Z_3 → Z_8%% проще осуществить через промежуточное преобразование к 10-ной системе %%Z_3 → Z_{10} → Z_8..%% Ситуация, однако, значительно упрощается, если основания исходной и конечной систем счисления оказываются связанными соотношением %%р = q^r%%, где %%r%% - целое число (естественно, большее 1) или %%r = \frac{1}{n}%% (%%n >1%%, целое) - эти случаи будут рассмотрены далее.