Декартово произведение множеств

В 1637 году вышел философский трактат “Рассуждение о методе” французского философа и математика Рене Декарта (1596—1650). Последняя часть этой работы была посвящена новому геометрическому методу — методу координат. Каждой точке плоскости Декарт поставил в соответствие упорядоченную пару вещественных чисел — ее первую и вторую координаты. При этом многие геометрические фигуры стали описываться с помощью алгебраических уравнений. Координаты каждой точки данной фигуры удовлетворяли соответствующему уравнению, координаты всех остальных точек плоскости не удовлетворяли этому уравнению. Таким образом, многие геометрические задачи были переведены на алгебраический язык и были решены алгебраическими средствами. Эта часть математики, которая возникла на границе геометрии и алгебры, стала называться аналитической геометрией.

Рассмотренное Декартом множество всех упорядоченных пар вещественных чисел является примером произведения множества на себя. Для определения произведения множеств в общем случае необходимо понятие упорядоченной пары.

Пусть $A$ и $B$ — произвольные непустые множества и $a ∈ A$ , $b ∈ B$ . Заметим сразу, что множества $\{a, b\}$ и $\{b, a\}$ равны между собой и поэтому не дают возможности определить, какой из двух элементов пары является первым, а какой — вторым.

Последнее важно, так как, например, точки с координатами $(1, 2)$ и $(2, 1)$ различны, в то время как множества $\{1,2\}$ и $\{2,1\}$ совпадают.

Существует несколько определений упорядоченной пары $(a, b)$ , одно из них принадлежит Н.Винеру и К.Куратовскому.

Определение. Пусть $a ∈ A$, $b ∈ B$ . Упорядоченной парой ($a, b)$ называется множество $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ , при этом $a$ называется первым элементом упорядоченной пары, а $b$ — вторым.

Теорема 1.3.1. $(a,b)=(c,d)⇔a=c$ и $b=d$.

Итак, запись $(a, b)$ означает, что пара образована двумя элементами $a$ и $b$ , причем a является первым элементом этой пары. В предыдущей теореме доказано основное свойство упорядоченных пар: две упорядоченные пары совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их первые элементы и вторые элементы также равны между собой. Это, в частности, означает, что $(a, b) = (b, a)$ только в исключительном случае: когда $a = b$.

Определение. Произведением двух множеств $A$ и $B$ называют множество $A × B$ , состоящее из всех упорядоченных пар, первые элементы которых выбираются из $A$, вторые — из $B$ (т.е. $A×B=\{(a,b):a∈A, b∈B\}$).

На рис. 3 изображено произведение множеств $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{a, b\}$.

Произведение двух множеств $A$ и $B$ часто называют декартовым произведением.

Заметим, что множества $A$ и $B$ не обязаны быть различными, в случае их совпадения множество $A × A$ обозначают через $A^2$ и называют квадратом (декартовым квадратом) множества $A$ . Так, например, $R^2$ — декартова плоскость, $Z^2$ — ее подмножество, состоящее из всех точек с целочисленными координатами.

Заметим,что часто $A×B\not=B×A$. Так, $(1,−2)∈N×Z$,но $(1,−2)\not ∈Z×N$.

Теорема 1.3.2. Пусть $A$, $B$ и $C$ — произвольные множества, тогда выполняются следующие свойства:

$$1.(A∪B)×C =(A×C)∪(B×C),$$ $$1′.(A∩B)×C =(A×C)∩(B×C).$$