Операции над множествами и их свойства

Довольно часто новые множества с требуемыми свойствами получаются из ранее построенных с помощью теоретико-множественных операций. Последние имеют своими историческими предшественниками логические операции, свойства которых были хорошо изучены уже к середине XIX века. В этом параграфе изучаются основные теоретико-множественные операции: пересечение, объединение, разность множеств и взятие дополнения.

Определение. Пересечением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A ∩ B$ ) называется множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат и $A$ , и $B$ . Символьная запись этого определения такова:

$$A ∩ B = \{x : x ∈ A и x ∈ B\}$$

Определение. Объединением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A ∪ B$ ) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или $A$ , или $B$ . И соответствующая символьная запись:

$$A∪B = \{x : x ∈ A \text{ или } x ∈ B\}$$

Диаграммы Эйлера–Венна, изобpаженные на рис.1 и 2, являются иллюстрацией для включения множеств, а также операций пеpесечения и объединения.

Рассмотрим несколько примеров. Если $A = \{1,2,3\}$ и $B = \{3,4\}$, то их пересечением будет множество $A ∩ B = \{3\}$ , а объединением — $A ∪ B = \{1, 2, 3, 4\}$ . Пересечение множества, состоящего из всех квадратов плоскости, и множества четырехугольников, не являющихся квадратами, пусто, в то время как их объединение дает множество всех четырехугольников на плоскости.

Решением любой системы уравнений является пересечение решений каждого из входящих в систему уравнений. Пересечение двух различных прямых не может содержать более одной точки, а объединение всегда бесконечно, так как содержит каждую из этих прямых.

Перед тем как определить еще одну операцию над множествами, обсудим понятие универсального множества. Часто рассматривают множества какого-то определенного типа, т.е. все они одновременно содержатся в некотором “большом” множестве. Такое множество, которое содержит все рассматриваемые множества данного типа, называется универсальным для этого типа множеством. Так, для знакомого множества крокодилов моря Лаптевых универсальным $A$ множеством является множество всех крокодилов.

Для четырехугольников универсальным множеством является плоскость. Для числовых множеств — множество всех вещественных чисел $\mathbb R$ . Далее универсальное множество будем обозначать через $I$ .

Определение. Разностью множеств $B$ и $A$ (обозначается $B \backslash A$ ) называется множество, состоящее из всех элементов множества B , не принадлежащих множеству A (т.е. $B\backslash A=\{x:x∈B \text{ и } x \not ∈ A\}$) (pис. 2).

Определение. Дополнением множества $A$ (обозначение — $\overline{A}$ ) называется разность между универсальным множеством $I$ и множеством $A$ (т.е. $\overline{A} = \{x : x ∈ I\text{ и } x\not ∈ A\}$) (pис. 2).

Если по-прежнему $A = {1,2,3}$ и $B = {3,4}$, то $B\backslash A = \{4\}$, а $A\backslash B = \{1, 2\}$ . Разностью между множеством натуральных чисел $\mathbb N$ и множеством всех четных натуральных чисел $N_2$ является множество всех нечетных натуральных чисел.

Операции объединения и пересечения удовлетворяют следующим свойствам.

Теорема 1.2.1. Пусть $A$, $B$ и $C$ — произвольные множества. Тогда справедливы следующие равенства:

$$1. A ∪ A = A.$$ $$2. A ∪ B = B ∪ A.$$ $$3. (A∪B)∪C =A∪(B∪C).$$ $$4. (A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C).$$

$$1′. A ∩ A = A.$$ $$2′. A ∩ B = B ∩ A.$$ $$3′.(A∩B)∩C =A∩(B∩C).$$ $$4′.(A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C).$$

Свойства 2 и 2′ называются законом коммутативности операций $∪$ и $∩$ , 3 и 3′ — законом ассоциативности, 4 и 4′ — дистрибутивности.

Легко заметить, что опеpации $∪$ и $∩$ обладают некотоpой симметpичностью. Так, пpи одновpеменной замене всех $∪$ на $∩$ и всех $∩$ на $∪$ каждая из пpиведенных выше фоpмул останется верной. В следующей теоpеме показываются основные свойства разности множеств.

Теорема 1.2.2. Пусть $A$ и $B$ произвольные множества. Тогда выполняются следующие свойства:  $$5. A ∪ \oslash = A.$$ $$6. A ∪ I = I.$$ $$7. \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∩ \overline{B}.$$

$$5′. A ∩ \oslash = \oslash.$$ $$6′. A ∩ I = A.$$ $$7′. \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}.$$  $$8. A = A.$$

Свойства 7 и 7′ называются законами де Моргана.