Множество и его элементы. Способы задания множеств

Во многих математических теориях существуют первоначальные, или неопределяемые, понятия.

Причина, по которой невозможно определить абсолютно все понятия, которые мы используем, состоит в следующем. Определяя некоторое понятие через другие, необходимо следить за тем, чтобы это понятие не было определено само через себя. Иначе может возникнуть определение, которое в математике называется “порочным кругом” и считается недопустимым. Вот несколько примеров таких “определений”: “ромб — это ромб”, “угол имеет величину $90^\circ$ , если его стороны перпендикулярны; перпендикулярными прямыми называются прямые, угол между которыми $90^\circ$ ” и т.д.

Каждое определение в математике — это замаскированная цепочка определений, каждое звено которой является переходом к определению более простого понятия. Поскольку замыкать цепь нельзя, то каждый нижний уровень цепи является неопределяемым понятием.

Так, давая строгое определение ромба, можно через определение замкнутой простой ломаной и ее звена дойти до двух не определяемых в геометрии понятий — точки и прямой. От первоначальных понятий требуется очень многое: при небольшом количестве они должны обеспечить все многообразие понятий данной математической теории. Все необходимые для этого свойства неопределяемых понятий описываются с помощью системы аксиом.

Аксиомы — это утверждения о неопределяемых понятиях, которые мы заранее (т.е. по определению) считаем истинными.

Так, по Гильберту, в геометрии существуют три неопределяемых понятия, которые описываются двадцатью аксиомами.

Единственным неопределяемым понятием в теории множеств является понятие множества. В качестве синонимов множеству мы будем использовать “совокупность элементов” или “класс элементов”. Смысл множества интуитивно ясен — множество объединяет некоторые, вполне определенные, элементы в одно целое. Трудно найти объекты, которые не являются множествами. Так, эта страница является множеством, состоящим из строк, каждая строка — множество, состоящее из некоторых символов, каждый символ — множество точек на плоскости.

Множества мы будем обозначать большими буквами $( A , B , X , Y )$, его элементы — малыми $( a, b, x, y )$. Тот факт, что a является элементом множества $A$ , будем обозначать $a ∈ A$ (читается: a принадлежит множеству A ). Знак $∈$ был введен итальянским математиком Дж.Пеано и является сокращением греческого слова εστι — “быть”. Запись $a\not\in A$ означает, что a не является элементом множества $A$ .

Множество полностью определяется своими элементами. Это означает, что множества совпадают в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Символьная запись определения равенства двух множеств такова:

$$A=B ⇐⇒ (\text{для любого } a∈A⇒a∈B \text{ и для любого } b ∈ B ⇒ b ∈ A ).$$

Существует два основных способа задания множеств. Для конечных множеств, содержащих небольшое количество элементов, часто просто перечисляют все входящие в него элементы. Так, например, $A = {a,b,c}$ — это множество, элементами которого являются только $a$, $b$ и $c$ .

Самым распространенным является задание множества с помощью некоторого условия $P(a)$, которому удовлетворяют все элементы этого множества и только они.

Иными словами, условие $P(a)$ истинно во всех случаях, когда элемент $a$ должен принадлежать определяемому множеству, и ложно для всех элементов, не участвующих в образовании этого множества. Запись $A = \{a : P(a)\}$ означает, что множество $A$ состоит из всех элементов, которые удовлетворяют условию $P(a)$ (знак “:” означает “такие, что” ).

Например,

$$N_2 = \{n : n ∈ N \text{и существует некоторое } k ∈ N, \text{ что } n = 2k\}$$ множество всех четных натуральных чисел;

множество $$R^+ = \{x : x ∈ R \text{ и } x \geqslant 0\}$$ состоит из всех неотрицательных вещественных чисел,

$$B = \{b : b \text{ является выпуклым четырехугольником}\}$$ множество, состоящее из всех выпуклых четырехугольников, или такое экзотичное множество, как

$$Y = \{y : y \text{ -- крокодил, обитающий в море Лаптевых }\}$$

Для сокращения записи вместо $A = \{a : a ∈ B и P (a)\}$ будем использовать запись $A = \{a ∈ B : P (a)\}$ .

Множества могут являться частью других множеств. Так, множество натуральных чисел $N$ содержится во множестве всех целых чисел $Z$ , последнее — во множестве рациональных чисел $Q$ , и, наконец, множество $Q$ содержится во множестве вещественных чисел $R$ .

Определение. Множество $A$ содержится во множестве $B$ (обозначается $A ⊆ B$ ), если каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$ (рис. 1).

Теорема 1.1.1. $A = B$ тогда и только тогда,когда одновременно $A⊆B$ и $B⊆A$ (т.е. $A= B ⇐⇒ A ⊆ B \text{ и } B ⊆ A$ ).

Бывают случаи, когда условие $P(a)$ определено таким образом, что нет ни одного элемента, который бы удовлетворял этому условию. Например, $P (a) = a$, где $a$ является четным и одновременно нечетным натуральным числом.

Множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается $\oslash$ и называется пустым множеством.

Его можно определить еще и таким образом:

$$\oslash = {x : x — множество \,и\, x\not = x}$$